物理學(xué)：π會(huì)出現(xiàn)在與圓無(wú)關(guān)的場(chǎng)合嗎?

 

　　我個(gè)人十分偏愛(ài)π這個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)，對(duì)于這點(diǎn)，我絲毫不隱瞞。連一個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)也喜歡?有什么特殊原因嗎?我們來(lái)做一件有趣的事情，請(qǐng)你拿出計(jì)算器，把π這個(gè)值做平方，可以用計(jì)算器本身自帶的π或者也可以取3.1415，或者任意一個(gè)計(jì)算器位數(shù)容得下的值。

 

　　計(jì)算完成了嗎?有沒(méi)有覺(jué)得這個(gè)值看起來(lái)很眼熟——π的平方是9.869，看起來(lái)正好和牛頓力學(xué)里講的地球表面重力場(chǎng)內(nèi)每千克物體所受到的地心引力值g很接近，這下你發(fā)現(xiàn)什么了嗎?

 

　　且慢，到底你說(shuō)的重力場(chǎng)是什么意思?由地心引力引起的9.8，難道單位不是m/s2嗎?說(shuō)的沒(méi)錯(cuò)。很多人是以這樣一種方式來(lái)認(rèn)識(shí)它的，但它所謂的這個(gè)“名字”其實(shí)并不那么合適。我們來(lái)觀察一本簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單放在圓桌面上的書(shū)，書(shū)放在桌面上是靜止的，對(duì)嗎?這說(shuō)明它的動(dòng)量改變?yōu)?，而動(dòng)量定理認(rèn)為物體所受的合外力等于動(dòng)量的改變值與時(shí)間之比。所以書(shū)所受到的合外力為0，只有兩個(gè)大小相同、方向相反的力作用在這本書(shū)上：向下的地心引力與桌子向上的支持力。

 

　　因此，用這個(gè)單位m/s2地心引力的大小是多少?一般認(rèn)為地心引力就等于書(shū)的質(zhì)量與g的乘積。在地球表面，這樣計(jì)算是成立的。但何謂g?假如你的回答是：g是重力引起的加速度的值，就會(huì)產(chǎn)生一個(gè)問(wèn)題，書(shū)在這個(gè)時(shí)候并沒(méi)有加速運(yùn)動(dòng)，對(duì)吧?

 

　　現(xiàn)在，如果你讓書(shū)自由落體，那么作用在書(shū)上唯一的力就是地心引力。在這種情況下，它以9.8m/s2的加速度向下加速。但做自由落體運(yùn)動(dòng)只是物體發(fā)生的一種非常特殊的狀態(tài)，這種情況并不能涵蓋物體的其他狀態(tài)，故不宜把g稱(chēng)為是重力引起的加速度，而應(yīng)該稱(chēng)之為引力場(chǎng)的強(qiáng)度。

 

　　那么g的單位也應(yīng)該隨之變化吧?如果g是引力場(chǎng)強(qiáng)度，那么它的單位應(yīng)該是單位質(zhì)量上所受到力的大小，可以把它類(lèi)比為電場(chǎng)里單位庫(kù)倫所受的力的大小。把g稱(chēng)為重力場(chǎng)并不只是物理叫法上的正本清源，它還能幫助初學(xué)物理的學(xué)生理解“場(chǎng)”的概念，當(dāng)有這個(gè)重力場(chǎng)的概念作為鋪墊，以后學(xué)習(xí)到電場(chǎng)，理解起來(lái)就不會(huì)很費(fèi)力。

 

　　言歸正傳，回到π的平方。也許你會(huì)認(rèn)為π2的值和g相近只不過(guò)是世界上萬(wàn)千巧合里的一樁而已。然而，兩者數(shù)值上的接近實(shí)際并非湊巧。但如果這件事不是巧合，那又為什么π的平方并不是完全和g相等?這是因?yàn)間本身也不是一個(gè)確值，它在地球表面的值是由很多因素決定的。首先，g是個(gè)近似值，是我們?cè)诘厍虮砻鏈y(cè)得的，由于受到地球自轉(zhuǎn)的影響，它把參考系的加速度也考慮在內(nèi)了，離赤道越近，g的值就越小。

 

　　另外一個(gè)影響g的因素來(lái)源于地球表面并不統(tǒng)一的地理?xiàng)l件。在一個(gè)由密度較大的巖石構(gòu)成的區(qū)域，g的值會(huì)增加，其值隨著地理區(qū)域的不同而發(fā)生變化，并沒(méi)有一個(gè)統(tǒng)一的定值。

 

　　關(guān)于g，比前面還要有趣的來(lái)了：為什么兩個(gè)看似毫不相關(guān)的π和g是有聯(lián)系的?這個(gè)和長(zhǎng)度單位“米”也有關(guān)系。具體闡述這個(gè)問(wèn)題前，我們先來(lái)認(rèn)識(shí)一下秒擺。秒擺是一種鐘擺，重物從一頭運(yùn)動(dòng)到另外一頭耗時(shí)正好是1s(或周期為2s)。

 

　　你肯定見(jiàn)過(guò)秒擺，家里祖父的鐘擺就是一個(gè)秒擺(周期為2s)。但從技術(shù)上來(lái)講，祖父的鐘擺并不是嚴(yán)格意義上的一個(gè)秒擺。秒擺一端用一根質(zhì)量極輕的細(xì)線拴上一個(gè)質(zhì)點(diǎn)(線可以在你家附近的五金店購(gòu)買(mǎi)到)。而祖父的秒擺則完全不同，它有一根硬棒作為來(lái)回?cái)[動(dòng)的工具，棒有質(zhì)心，它和秒擺的質(zhì)心不一樣。測(cè)量一下后者鐘擺的長(zhǎng)度，你會(huì)發(fā)現(xiàn)它的長(zhǎng)度大致為1m。而真正意義上的一個(gè)秒擺的長(zhǎng)度實(shí)際就是1m。當(dāng)然如果你和你的朋友在地球上不同的區(qū)域各自制作一個(gè)秒擺，用到線長(zhǎng)度可能稍有不同。

 

　　去試一下，找來(lái)一顆質(zhì)量較小的物體比如堅(jiān)果，或者一顆金屬球。金屬球的效果會(huì)非常好，因?yàn)樗闹亓h(yuǎn)遠(yuǎn)大于空氣的阻力以致于后者可以被忽略?，F(xiàn)在，令金屬球質(zhì)心與支點(diǎn)的一端之間的距離為一米，并讓它以小角度擺動(dòng)(大約10°)。你可以用視頻記錄下來(lái)或者用秒表來(lái)測(cè)時(shí)間。不管怎么測(cè)，小球從一邊擺到另一邊，兩種方式測(cè)得的時(shí)間都應(yīng)為1s。

 

　　在此，我不加以推導(dǎo)直接給出小角度擺動(dòng)的秒擺周期公式，但要從實(shí)驗(yàn)角度得出這個(gè)結(jié)果并不是特別困難：

 

 

　　如果你希望周期達(dá)到2s，你可以通過(guò)公式自己調(diào)整線的長(zhǎng)度。此時(shí)線的長(zhǎng)度L正好可以由g和π2來(lái)表示。更近一步，如果長(zhǎng)度如秒擺一樣取1m，那么得出的結(jié)果g的值為π2，約等于9.8m/s2。等一下，剛才不是說(shuō)g的單位N/kg嗎?好了，現(xiàn)在通過(guò)運(yùn)算你該明白了為什么說(shuō)這兩個(gè)單位是等價(jià)了吧?

 

　　但是為什么π會(huì)出現(xiàn)在單擺的周期公式里?這個(gè)問(wèn)題問(wèn)得好。這是因?yàn)閱螖[的路線和圓形一樣嗎?不對(duì)。在彈簧下端掛一重物，用手拉一下，重物就以原來(lái)靜止的位置為中心上下做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，這同樣也是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，它的周期公式和小角度的單擺周期公式在形式上一樣。那么到底為什么π在這個(gè)公式里?我認(rèn)為最佳答案是描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)需要用到正弦與余弦函數(shù)，因?yàn)檫@個(gè)緣故，周期公式里才有了π。

 

　　很多表面看起來(lái)毫不相關(guān)的事物原來(lái)有著我們意想不到的聯(lián)系。g和π就是這樣一種情況，當(dāng)然，有時(shí)候在其他沒(méi)有圓的場(chǎng)合π依舊會(huì)出現(xiàn)。

 

　　來(lái)源：極客物理學(xué) : 地球上最有趣的問(wèn)題和最出人意料的答案 作者：[美] 瑞特·阿萊恩

 

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